Том 68, № 6, 2016

На класах $2\pi$ -перiодичних функцiй, якi мають уведенi О. I. Степанцем $(\psi , \beta)$-похiднi, у просторi $L_2$ отримано точнi константи у нерiвностях типу Джексона для узагальнених модулiв неперервностi, якi включають в себе як звичайнi модулi неперервностi, так i рiзнi їх модифiкацiї. Данi результати, з огляду на класифiкацiю $(\psi , \beta )$-похiдних, дозволяють з єдиних позицiй розглядати бiльшiсть отриманих ранiше нерiвностей типу Джексона на класах диференцiйовних функцiй $L_2^r,\; r \in N$.

Для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка исследуется наиболее широ кий класс неоднородных краевых задач, решения которых принадлежат пространству Слободецкого $W^{s+1}_p ((a, b),C^m)$, где $m \in N,\; s > 0$ и $p \in (1,\infty )$. Доказана теорема о фредгольмовости этих задач. Уста новлены условия их однозначной разрешимости и непрерывности решений по параметру в этом пространстве.

Получено решение задачи о тени в $n$-мерном евклидовом пространстве $R^n$ для семейства множеств, полученных из произвольного выпуклого множества с непустой внутренностью с помощью параллельных переносов и гомотетий. Кроме этого установлено какое количество шаров с центрами на сфере достаточно для создания тени в $n$-мерном комплексном (гиперкомплексном) пространстве.

Побудовано частиннi розв’язки для рiвняння непарного порядку з кратними характеристиками та вивчено деякi їхнi властивостi.

В гильбертовых пространствах Хермандера исследованы начально-краевые задачи для произвольного параболического дифференциального уравнения второго порядка с краевым условием Дирихле или общим краевым условием первого порядка в случае, когда решения этих задач принадлежат пространству $H^{2,1,\varphi}$. Доказано, что операторы, соответствующие этим задачам, являются изоморфизмами между подходящими пространствами Хермандера. Регулярность функций, образующих эти пространства, характеризуeтся парой числовых параметров и функциональным параметром $\varphi$, медленно меняющимися на бесконечности по Карамата. Благодаря параметру $\varphi$ пространства Хермандера описывают регулярность функций более тонко, чем анизотропные пространства Соболева.

Роботу присвячено розв’язанню задачi точної керованостi для досить широкого класу систем iз запiзненням нейтрального та мiшаного типiв. Розглядаючи еквiвалентну операторну модель у гiльбертовому просторi, ми формулюємо умови керованостi у виглядi деякої векторної проблеми моментiв. Вид даної проблеми моментiв iстотно спрощується при наявностi базису простору з власних векторiв оператора системи з запiзненням. Замiна керування дозволяє перетворити структуру системи i гарантувати iснування базису з власних векторiв вiдповiдного оператора. Доведено критерiй точної керованостi i встановлено точний час керування.

Встановлено точнi за порядком оцiнки найкращих $m$-членних наближень за кратним базисом Хаара $\mathrm{H}^d$ у просторах Лебега $L_q(I^d)$ функцiй iз класiв Бєсова. Наведено практично здiйсненний алгоритм побудови екстремальних (у розумiннi точних за порядком оцiнок наближень) нелiнiйних $m$-членних агрегатiв.

Наведено деякi теореми про нерухому точку для однозначних вiдображень на частинних метричних просторах, що задовольняють умову стиску iнтегрального вигляду.

Введено поняття майже менгерової властивостi в бiтопологiчних просторах, наведено деякi характеристики в термiнах $(i, j)$-регулярних вiдкритих множин i майже неперервної сюр’єкцiї та вивчено поняття майже $\gamma$ -множини в бiтопологiчному контекстi.

Проаналiзовано обмеженiсть i компактнiсть рiзниць зважених диференцiальних операторiв композицiї $D^n_{\varphi_1, u_1} - D^n_{\varphi_2, u_2}$, де $n \in N_0, u_1, u_2 \in H(D)$ та $\varphi_1, \varphi_2 \in S(D)$, iз просторiв iз мiшаною нормою $H(p, q, \phi)$, де $0 < p,\; q < \infty$, а $\phi$ є нормальним, у просторах зваженого типу $H^{\infty}_v$.

Наведено конгруенцiї на регулярних напiвгрупах з $Q$-оберненою трансверсаллю $S^o$ щодо пари конгруенцiй (абстрактно), сформованої з конгруенцiй на частинах структурних компонент $R$ i $\Lambda$. Доведено, що множина всiх конгруенцiй для такого типу напiвгруп є повною ґраткою.

За певних умов встановлено деякi явнi зображення узагальнених обернених операторiв для модифiкованого оператора $A + YGZ$, де $A, Y, Z$ та $G$ — оператори мiж банаховими просторами. Цi результати узагальнюють останнi роботи щодо матриць Дразiна та Мура – Пенроуза, обернених до комплексних матриць та операторiв у гiльбертовому просторi.

Установлены условия существования и единственности классического решения обратной задачи определения зависящего от времени младшего коэффициента в одномерном параболическом уравнении с вырождением. Заданы краевые условия Дирихле и интегральное условие переопределения. Исследован случай сильного степенного вырождения.